Question

(1)設x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)1＜a≤b≤c，證明log_ab＋log_bc＋log_ca≤log_ba＋log_cb＋log_ac.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)由于x≥1，y≥1，
要證x＋y＋≤＋＋xy，
只需證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)².
因為[y＋x＋(xy)²]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)²－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
由條件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
從而所要證明的不等式成立．
(2)設log_ab＝x，log_bc＝y，由對數的換底公式得log_ca＝，log_ba＝，log_cb＝，log_ac＝xy.
于是，所要證明的不等式即為x＋y＋≤＋＋xy.
其中x＝log_ab≥1，y＝log_bc≥1.
故由(1)可知所要證明的不等式成立．