Question

【題目】已知函數(shù)，且在和處取得極值．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】試題分析：（1）由f（x）=ax3+bx2-2x在x=1或2處取得極值，可得f'（1）=f'（2）=0，故可得到a、b的方程組，求解即可；

（2）曲線y=g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成g（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后依題意有g(shù)（x）極大值=0或g（x）極小值=0即可求出t的值．

試題解析：（1），

因?yàn)?/span>在和處取得極值，

所以和是的兩個(gè)根，

則，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件，故；

（2）由題意知，

令得， 或，

隨著變化情況如下表所示：

		1		2
	-	0	+	0	-
	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

由上表可知，

又取足夠大的正數(shù)時(shí)， ，

取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)， ，

因此，為使曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，

得或，

∴或，

即存在，且或時(shí)，曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．