Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）與y=-sinx的圖象關于直線

π

6

對稱．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）若將函數f（x）的圖象向左平移m（m＞0）單位后，圖象關于y軸對稱，求m的最小值；
（3）將函數y=f（x）的圖象上的各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

（縱坐標不變），得到函數y=h（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+m=0在區間[0，

π

2

]上有且只有一個實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,根的存在性及根的個數判斷

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據對稱性直接求解其解析式．
（2）平移后由函數為偶函數得到m-

π

3

=kπ+

π

2

，由此可求最小正數m的值．
（3）由圖象變化法則可得g（x）=sin（2x-

π

3

），問題等價于函數g（x）的圖象與y=-m只有一個公共點，數形結合可得．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）與y=-sinx的圖象關于直線

π

6

對稱．
∴Asin[ω（

π

3

-x）+φ]=-sinx，
∴-Asin（ωx-

πω

3

-φ）=-sinx，
∴可解得：A=1，ω=1，φ=-

π

3

，
∴y=f（x）=sin（x-

π

3

），
（2）∴將函數y=sin（x-

π

3

）的圖象向左平移m（m＞0）個長度單位后，所得到的圖象對應的函數解析式為y=sin（x+m-

π

3

）．
∵所得到的圖象關于y軸對稱，
∴y=sin（x+m-

π

3

）為偶函數．
即m-

π

3

=kπ+

π

2

，m=kπ+

5π

6

．
當k=0時，m的最小值為

5π

6

．
（3）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
∴g（x）=sin（2x-

π

3

），可得g（x）在[0，

5π

12

]單調遞增，在[

5π

12

，

π

2

]單調遞減，
其圖象如圖所示，

關于x的方程g（x）+m=0在區間[0，

π

2

]上有且只有一個實數解，
等價于函數g（x）的圖象與y=-m只有一個公共點，
由圖象可得-m=1，或-

3

2

≤-m＜

3

2

，
∴實數m的取值范圍為：m=-1或-

3

2

＜m≤

3

2

．

點評：本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角函數誘導公式等知識，屬于中檔題．解題的關鍵是靈活運用對稱思想求解函數的解析式．