Question

已知函數f（x）=xe^x+ax²-x，（a∈R，e為自然對數的底數，且e=2.718…）．
（Ⅰ）若a=-

1

2

，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若對于x≥0時，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當n∈N^*時，證明：

e-en+1

1-e

≥

n(n+3)

2

．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（I）a=-

1

2

時，f（x）=xe^x-

1

2

x²-x，f′（x）=（x+1）e^x-x-1，利用導數的幾何意義可得切線的斜率f′（1）=2e-2，利用點斜式即可得出切線方程；
（II）f′（x）-f（x）≥（4a+1）x化為e^x-ax²-2ax-1≥0，令g（x）=e^x-ax²-2ax-1，x∈[0，+∞），g（0）=0．對于x≥0時，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立?g（x）_min≥0，對a分類討論，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．
（III）由（II）可知：當a=

1

2

時，e^x-ax²-2ax-1≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，可得e^x-1≥

1

2

x2+x，可得e^x≥x+1，令n=1，2，…，則e≥1+1，e²≥2+1，…，eⁿ≥n+1，“累加求和”即可得出．

解答： （I）解：a=-

1

2

時，f（x）=xe^x-

1

2

x²-x，∴f′（x）=（x+1）e^x-x-1，
∴f′（1）=2e-2，
又f（1）=e-

3

2

，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-(e-

3

2

)=（2e-2）（x-1），化為（2e-2）x-y+

1

2

-e=0．
（II）解：f′（x）-f（x）≥（4a+1）x化為e^x-ax²-2ax-1≥0，
令g（x）=e^x-ax²-2ax-1，x∈[0，+∞），g（0）=0．
則g′（x）=e^x-2ax-2a，當a≤0時，g′（x）＞0，因此g（x）在x∈[0，+∞）單調遞增，∴g（x）≥g（0）=0，滿足條件．
當0＜a≤

1

2

時，g^″（x）=e^x-2a＞0，g′（x）在x∈[0，+∞）單調遞增，∴g′（x）≥g′（0）=1-2a≥0，∴g（x）在x∈[0，+∞）單調遞增，滿足條件；
當a＞

1

2

時，令g^″（x）=0，解得x=ln（2a）＞0，∴令g^″（x）＞0，解得x＞ln（2a），此時函數g′（x）單調遞增；令g^″（x）＜0，解得0＜x＜ln（2a），此時函數g′（x）單調遞減．
∴當x=ln（2a）時，函數g′（x）取得最小值，g′（ln（2a））=2a-2aln2a-2a=-2aln（2a）＜0，g′（0）=1-2a＜0，∴g（x）在[0，ln（2a））上單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0，不滿足條件，舍去．
綜上可得：對于x≥0時，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立，則實數a的取值范圍是(-∞，

1

2

]；
（III）證明：由（II）可知：當a=

1

2

時，e^x-ax²-2ax-1≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，∴e^x-1≥

1

2

x2+x，∴e^x≥x+1
令n=1，2，…，則e≥1+1，e²≥2+1，…，eⁿ≥n+1
∴

e(1-en)

1-e

=

e-en+1

1-e

≥n+

n(n+1)

2

≥

n(n+3)

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、幾何意義、切線方程、證明不等式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．