Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在區間上的值域.

（2）對于任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導數，得從而確定，再根據單調性得值域（2）先整理不等式得，轉化為函數在區間為增函數，再轉化為對應函數導數恒非負，分離變量得最小值，最后利用導數求函數單調性，得最值，即得實數的取值范圍.

試題解析：（1）當時， ，

，

令，有，

當時， ，

當時，

得，解得： ，

故當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，

所以當時， ，可得，

函數在區間上單調遞減，

，

，

故函數在區間上的值域為.

（2）由，有，

故可化為，

整理為： ，

即函數在區間為增函數，

，

，故當時， ，

即，

①當時， ；

②當時，整理為： ，

令，有 ，

當， ， ，有，

當時，由，有 ，可得，

由上知時，函數單調遞減，

故，

故有： ，可得.