Question

【題目】設點O為坐標原點，橢圓E：（a≥b＞0）的右頂點為A，上頂點為B，過點O且斜率為的直線與直線AB相交M，且．

（Ⅰ）求橢圓E的離心率e；

（Ⅱ）PQ是圓C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一條直徑，若橢圓E經過P，Q兩點，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用OM的斜率為，布列方程，解出離心率；（2）利用弦長公式，結合維達定理，布列方程，結合上一問的離心率，易得橢圓方程.

試題解析：

（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），，所以M（，）．

∴，解得a＝2b，

于是，∴橢圓E的離心率e為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴橢圓E的方程為即x2＋4y2＝4b2（1）

依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點，且．

由對稱性可知，PQ與x軸不垂直，設其直線方程為y＝k（x－2）＋1，代入（1）得：

（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，

由得，解得．

從而x1x2＝8－2b2．于是

．

解得：b2＝4，a2＝16，∴橢圓E的方程為．