Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）為其導函數，若f′（x）為偶函數且f（x）在x=2處取得極值d-16
（I）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）有極大值20，求f（x）在區間[-3，3]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，

f′(2)=0 f(2)=d-16

即可求解a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）根據導數判斷單調性得出f（x）=x³-12x+d，在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值，再求出d，即可判斷最值，求出來．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f′（x）為偶函數，
∴b=0，
∵f（x）在x=2處取得極值d-16，
∴

f′(2)=0 f(2)=d-16

∴

12a+c=0 8a+2c+d=d-2

解得：

a=1 c=-12

，
∴a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）f（x）=x³-12x+d，
f′（x）=3x²-12，
∵f′（x）=3x²-12=0，x=2或x=-2，
∴當x∈（2，+∞）（-∞，-2）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（-2，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴f（x）=x³-12x+d，在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值，
∴f（-2）=16+d=20，d=4，
f（-3）=13，f（2）=-12，
∴f（x）在區間[-3，3]上的最小值為-12．

點評：本題考查了導數在函數單調性，閉區間上的最大值，最小值的應用，屬于難題，注意確定準極值點，最值點．