Question

已知曲線C的參數方程為

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數）．
（Ⅰ）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，

π

3

），寫出曲線C的極坐標方程和點P的直角坐標；
（Ⅱ）設點Q（x，y）是曲線C上的一個動點，求t=x+y的最小值與最大值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（I）曲線C的參數方程

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數）．利用sin²θ+cos²θ=1即可得出直角坐標方程．利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把直角坐標方程化為極坐標方程．
（Ⅱ）由于點Q在曲線C上，故可設點Q（2+cosθ，sinθ），可得t=x+y=2+cosθ+sinθ=2+

2

sin(θ+

π

4

)．利用正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）將點P(4，

π

3

)化為直角坐標為P(4cos

π

3

，4sin

π

3

)，即P(2，2

3

)，
由曲線C的參數方程

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數）．利用sin²θ+cos²θ=1可得：
曲線C的直角坐標方程（x-2）²+y²=1，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得：曲線C的極坐標方程ρ²-4ρcosθ+3=0．
（Ⅱ）∵點Q在曲線C上，故可設點Q（2+cosθ，sinθ），
∴t=x+y=2+cosθ+sinθ=2+

2

sin(θ+

π

4

)．
∵sin(θ+

π

4

)∈[-1，1]，
∴t最大=2+

2

，t最小=2-

2

．

點評：本題考查了直角坐標與極坐標的互化、圓的參數方程、正弦函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．