Question

以正方形的四個頂點分別作為橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點，A、B、M是該橢圓上的任意三點（異于橢圓頂點）．若存在銳角θ，使

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，則直線OA、OB的斜率乘積為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：首先，可以設橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而得到

OM

的坐標表示，然后，再根據M點在該橢圓上，建立關系式，結合A、B點在也該橢圓上，得到

x 2 1

2b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

2b2

+

y 2 2

b2

=1，從而得到相應的結果．

解答： 解：由題意可設橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

⇒M(cosθ•x1+sinθ•x2，cosθ•y1+sinθ•y2)
因為M點在該橢圓上，
∴

(cosθ•x1+sinθ•x2)2

2b2

+

(cosθ•y1+sinθ•y2)2

b2

=1，則

cos2θ• x 2 1 +sin2θ• x 2 2 +2sinθcosθ•x1x2 2b2 + cos2θ• y 2 1 +sin2θ• y 2 2 +2sinθcosθ•y1y2 b2 =1 ⇒cos2θ( x 2 1 2b2 + y 2 1 b2 )+sin2θ( x 2 1 2b2 + y 2 1 b2 )+ 2sinθcosθ•x1x2 2b2 + 2sinθcosθ•y1y2 b2 =1

又因為A、B點在也該橢圓上，
∴

x 2 1

2b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

2b2

+

y 2 2

b2

=1
∴

2sinθcosθ•x1x2

2b2

+

2sinθcosθ•y1y2

b2

=0⇒

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
即直線OA、OB的斜率乘積為-

1

2

，
同理當橢圓方程為

y2

2b2

+

x2

b2

=1時直線OA、OB的斜率乘積為-2．
故答案為：-

1

2

或-2．

點評：本題重點考查了平面向量的坐標運算，注意審題仔細，本題的表述應說清楚O是坐標原點，且要交待橢圓的位置是以x軸、y軸為對稱軸，屬于中檔題．