Question

【題目】如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點．在五棱錐P－ABCDE中，F為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H.

(1)求證：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）點H的坐標為()．PH＝2.

【解析】試題分析：（1）運用線面平行的判定定理和性質定理即可證得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE為正方形，建立如圖的空間直角坐標系Axyz，分別求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐標，設平面ABF的法向量為n=（x，y，z），求出一個值，設直線BC與平面ABF所成的角為α，運用sinα=|cos＜n， ＞|，求出角α；設H（u，v，w），再設 (0＜λ＜1)，用λ表示H的坐標，再由n =0，求出λ和H的坐標，再運用空間兩點的距離公式求出PH的長．

試題解析：

(1)在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB∥DE.

又因為AB平面PDE，所以AB∥平面PDE.

因為AB平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FC，

所以AB∥FG.

(2)因為PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.

如圖建立空間直角坐標系A－xyz，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，＝(1,1,0)．

設平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則

即

令z＝1，則y＝－1.所以n＝(0，－1,1)．

設直線BC與平面ABF所成角為α，則

sinα＝|cos<n， >|＝||＝.

因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.

設點H的坐標為(u，v，w)．

因為點H在棱PC上，所以可設＝λ (0＜λ＜1)，

即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，

所以u＝2λ，u＝λ，w＝2－2λ.

因為n是平面ABF的法向量，所以n·＝0，

即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.

解得λ＝，所以點H的坐標為(，，)．

所以PH＝＝2.