Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）求證：當時， ；

（Ⅱ）若函數在（1，+∞）上有唯一零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）(0，1)

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，得，分析單調性得當時， 即得證；（Ⅱ） 對t進行討論①， 在[1，+∞)上是增函數，所以當時， ，所以在(1，+∞)上沒有零點，②若， 在[1，+∞)上是減函數，所以當時， ，所以在(1，+∞)上沒有零點，③若0<t<1時分析單調性借助于第一問，找到，則當時，即成立；取，則當時， ，即，說明存在，使得，即存在唯一零點；

試題解析：（Ⅰ）由，得．

當變化時， 與的變化情況如下表：

x	(0，4)	4	(4，+∞)
	+	0	-

所以當時， ；

（Ⅱ）

①若，則當時， ，所以在[1，+∞)上是增函數，

所以當時， ，所以在(1，+∞)上沒有零點，所以不滿足條件．

②若，則當時， ，所以在[1，+∞)上是減函數，

所以當時， ，所以在(1，+∞)上沒有零點，所以不滿足條件．

③若0<t<1，則由，得

當變化時， 與的變化情況如下表：

記，則當時，即成立；

由（Ⅰ）知當時， ，即成立，所以取，則當時， 且，從而 ，即，這說明存在，使得，

結合上表可知此時函數在(1，+∞)上有唯一零點，所以0<t<1滿足條件．

綜上，實數的取值范圍為(0，1)．