Question

（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在圓點，焦點在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線與橢圓交于A，B兩點，的面積為4，的周長為（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)點Q的坐標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，若存在，求出P點坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（I）由題意知：，解得
∴橢圓的方程為      …………………………  5分
（II）假設(shè)存在橢圓上的一點，使得直線與以為圓心的圓相切，則到直線的距離相等,
： ，：     
化簡整理得：…  9分
∵點在橢圓上，∴   解得： 或（舍）…… 11分
時，，，∴橢圓上存在點，其坐標為或，使得直線與以為圓心的圓相切 ……………… 13分

略