Question

在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，若

AM

=

1

4

AB

+m

AD

（0＜m＜1），則

MA

•

MB

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：運用向量的數量積的定義可得，

AB

•

AD

=4，運用向量的三角形法則，化簡

MA

•

MB

=4m²-2m-3，再由二次函數在閉區間上的最值求法，即可得到范圍．

解答： 解：

AB

•

AD

=|

AB

|•|

AD

|•cos60°=4×2×

1

2

=4，
若

AM

=

1

4

AB

+m

AD

（0＜m＜1），
則

MA

•

MB

=

AM

•

BM

=（

1

4

AB

+m

AD

）•（

AM

-

AB

）=（

1

4

AB

+m

AD

）•（m

AD

-

3

4

AB

）
=m²

AD

2-

3

16

AB

2-

1

2

m

AB

•

AD

=4m²-2m-3=4（m-

1

4

）²-

13

4

，
由于0＜m＜1，則m=

1

4

，取得最小值-

13

4

，
又m=0，4m²-2m-3=-3；m=1，4m²-2m-3=-1．
則有

MA

•

MB

的取值范圍為[-

13

4

，-1）．
故答案為：[-

13

4

，-1）．

點評：本題考查平面向量的數量積的定義和性質，考查二次函數的最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．