Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=

2n+1•an

an+2n+1

，a₁=2，求a_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由題意轉化為出

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ⁺¹，再利用累加法求出通項，問題得以解決

解答： 解：∵a_n+1=

2n+1•an

an+2n+1

，
∴a_n+1（a_n+2ⁿ⁺¹）=a_n•2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1•a_n=（a_n-a_n+1）2ⁿ⁺¹，
∴

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ⁺¹，
∴

1

a2

-

1

a1

=2，

1

a3

-

1

a2

=2²，
…，

1

an

-

1

an-1

=2ⁿ，
兩邊累加得，
∴

1

an

-

1

2

=2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∴

1

an

=2ⁿ⁺¹-

3

2

，
∴a_n=

2

2n+2-3

點評：本題考查數列的遞推式求和通項的問題，關鍵求出

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ⁺¹，利用累加法求出通項的常用方法，屬于中檔題