Question

已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5），C（1，-2），

OP

=

OA

+λ

AB

．
（1）當(dāng)λ=2時，求

OP

的坐標(biāo)；
（2）若

OP

⊥

OC

，且向量

OD

=（2+t，

2

t

），其中t∈（0，+∞），求

OP

•

OD

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）將λ代入，利用向量相等得到所求；
（2）利用

OP

⊥

OC

，解得λ值，求出

OP

•

OD

的解析式，利用基本不等式求最大值．

解答： 解：（1）由已知

OA

=（1，2），

AB

=（3，3），λ=2，則

OP

=

OA

+2

AB

=（1，2）+2（3，3）=（7，8）．所以

OP

=（7，8）；
（2）若

OP

⊥

OC

，

OP

•

OC

=0，

OP

=

OA

+λ

AB

=（1+3λ，2+3λ）．
所以1+3λ-2（2+3λ）=0，即λ=-1，所以

OP

=（-2，-1），向量

OD

=（2+t，

2

t

），其中t∈（0，+∞），
所以

OP

•

OD

=-4-2t-

2

t

=-4-2（t+

1

t

）≤-4-4=-8，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

t

=1時等號成立；

點(diǎn)評：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量垂直的性質(zhì)運(yùn)用，還有利用基本不等式求最值，屬于中檔題．