Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作平行于x軸的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，若△AOB的面積為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)P是拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q是拋物線上的一點(diǎn)，若PF⊥QF，求證：直線PQ與拋物線相切.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)見解析.

【解析】

(1)由題意可得，則|由，可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，顯然時不滿足題意. 當(dāng)時，.又直線的方程為，將代入整理得，則或，而，則，所以，從而可得結(jié)論.

(1)由題意可得，則|AB|=2p，△AOB的面積，所以p=2，則拋物線C的方程為.

(2)證明:顯然FQ的斜率存在，設(shè)為k，當(dāng)k=0時，P(0,-1，Q(2,1)或(-2,1)，直線或y=-x-1，與拋物線聯(lián)立，得判別式△=0，所以此時直線與拋物線C相切；當(dāng)k≠0時，設(shè)直線，

因?yàn)?/span>PF⊥QF，則直線PF的方程為，

由得P(2k,- 1)，消去y得，

由Q是直線FQ與拋物線C的交點(diǎn)，

設(shè)，顯然時不滿足題意.

當(dāng)時，.

又直線PQ的方程為，將，即代入整理得，

則或，而，則，

所以，故直線PQ與拋物線C相切.·