Question

已知橢圓

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1（a₁＞b₁＞0）的離心率為

2

2

，雙曲線

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（a₂＞0，b₂＞0）與橢圓有相同的焦點F₁，F₂，M是兩曲線的一個公共點，若∠F₁MF₂=60°，則雙曲線的漸進線方程為（　�。�

• A、y=±

  2

  2

  x
• B、y=±x
• C、y=±

  2

  x
• D、y=±

  3

  x

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意設焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實軸為2a₂，令M在雙曲線的右支上，由已知條件結合雙曲線和橢圓的定義，以及余弦定理，離心率公式，得到a₁，a₂與c的關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．

解答： 解：由題意設焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實軸為2a₂，
令M在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|MF₁|-|MF₂|=2a₂，①
由橢圓定義|MF₁|+|MF₂|=2a₁，②
又∵∠F₁MF₂=60°，
∴|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cos60°=4c²，③
由①②得，|MF₁|=a₁+a₂，|MF₂|=a₁-a₂，
代入③，得2（a₁²+a₂²）-（a₁²-a₂²）=4c²，
即a₁²+3a₂²=4c²，
由

c

a1

=

2

2

，則2c²=a₁²，a₂²=

2

3

c²，
即有b₂²=c²-a₂²=

1

3

c²，
則漸近線方程為y=±

b2

a2

x，即為y=±

2

2

x．
故選A．

點評：本題考查雙曲線和橢圓的定義、方程和性質，考查余弦定理的運用，考查運算能力，考查離心率公式的運用，屬于中檔題．