Question

已知

OA

=（x+

5

，y），

OB

=（x-

5

，y），且|

OA

|+|

OB

|=6，則|2x-3y-12|的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用向量模的公式，結合橢圓的定義，求得點（x，y）的軌跡方程，求出橢圓的參數方程，運用兩角差的正弦公式，計算即可得到最大值．

解答： 解：由于

OA

=（x+

5

，y），

OB

=（x-

5

，y），
則|

OA

|+|

OB

|=6，
即為

(x+ 5 )2+y2

+

(x- 5 )2+y2

=6，
表示點（x，y）與點E（-

5

，0）和F（

5

，0）的距離之和為6，
由橢圓的定義，由6＞2

5

，可得點（x，y）在以E，F為焦點，長軸長為6的橢圓上，
即有a=3，c=

5

，b=2，
方程為

x2

9

+

y2

4

=1，
可令x=3cosα，y=2sinα（0≤α＜2π）．
則|2x-3y-12|=|6cosα-6sinα-12|=|6

2

sin（α-

π

4

）-12|=12-6

2

sin（α-

π

4

），
當sin（α-

π

4

）=-1即α=

7π

4

時，取得最大值12+6

2

．
故答案為：12+6

2

．

點評：本題考查橢圓的定義和方程，考查橢圓的參數方程的運用，考查三角函數的化簡和求值，考察運算能力，屬于中檔題．