Question

已知F₁，F₂分別為橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的左、右焦點，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁，垂足為D，線段DF₂的垂直平分線交l₂于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F₁作直線交曲線C于兩個不同的點P和Q，設

F1P

=λ

F1Q

，若λ∈[2，3]，求

F2P

•

F2Q

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用中垂線的性質列方程，或者利用拋物線的定義寫方程．
（2）利用定比分點坐標公式及向量坐標運算公式，并利用函數的單調性，求得

F2P•

F2Q

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則D（-1，y），由中垂線的性質知|MD|=|MF₂|
∴|x+1|=

(x-1)2+y2

化簡得C的方程為y²=4x（3分）
（另：由|MD|=|MF₂|知曲線C是以x軸為對稱軸，以F₂為焦點，以l₁為準線的拋物線
所以，

p

2

=1，則動點M的軌跡C的方程為y²=4x）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

F1P=

λ•F1Q

知

x1+1=λ(x2+1)  y1=λ y2

①．
又由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲線C上知

y12=4x1 y22=4x2

 ②，
由①②解得

x1=λ x2= 1 λ

，所以有x₁x₂=1，y₁y₂=4．（8分）

F2P•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-x₁-x₂+1+y₁y₂=6-(λ+

1

λ

)（10分）
設u=λ+

1

λ

，有u′=(λ+

1

λ

)′=1-

1

λ2

＞0  ?  u=λ+

1

λ

在區間[2，3]上是增函數，
得

5

2

≤λ+

1

λ

≤

10

3

，進而有

8

3

≤6-(λ+

1

λ

)≤

7

2

，
所以，

F2P•

F2Q

的取值范圍是[

8

3

，

7

2

]．（13分）

點評：本題主要考查軌跡方程的求法，兩個向量坐標形式的運算，注意換元的思想，換元過程中特別注意變量范圍的改變，屬于難題．