Question

已知F₁、F₂分別為橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F₁、F₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積為

9 7

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程求得c=

7

＜b，從而判斷出點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)張角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角頂點(diǎn)在焦點(diǎn)處，再利用橢圓的方程算出點(diǎn)P到F₁F₂軸的距離，利用三角形面積公式加以計(jì)算，可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，
∵橢圓

x2

16

+

y2

9

=1中，a=4且b=3，∴c=

a2-b2

=

7

＜b
由此可得∠OMF₁＜45°，得到∠F₁MF₂＜90°，
∴若△PF₁F₂是直角三角形，只能是∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°．
令x=±

7

，得y²=9(1-

7

16

)=

81

16

，解得|y|=

9

4

．
即P到F₁F₂軸的距離為

9

4

，
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|×

9

4

=

9 7

4

．
故答案為：

9 7

4

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P是橢圓上與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)，求△PF₁F₂的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．