Question

【題目】已知是定義在上的奇函數.

（1）當時， ，若當時， 恒成立，求的最小值；

（2）若的圖像關于對稱，且時， ，求當時， 的解析式；

（3）當時， .若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的最小值為；(2) ；(3) .

【解析】試題（1）取最小值時，m,n為函數在上最大值與最小值，先求函數在上最值，再根據奇函數性質得在上最大值與最小值，（2）先根據函數兩個對稱性（一個關于原點對稱，一個關于對稱）推導出函數周期，根據周期性只需求出解析式，根據關于對稱，只需求出上解析式，根據奇函數性質根據解析式可得上解析式，（3）先根據函數解析式得到，轉化不等式為，再根據函數單調性得，最后根據不等式恒成立，利用變量分離法求實數的取值范圍.

試題解析：（1），當時， .

，因為函數是奇函數，所以當時，

， .

所以， ， 的最小值為.

（2）由為奇函數，得；又的圖像關于對稱，得；∴即∴

當， ；

當， ；

又，當時，

（3）易知， ；

， ；綜上，對任，

∴對任意的恒成立，又在上遞增，

∴，即對任意的恒成立.

∴∴