Question

【題目】已知函數（且）．

（1）函數是否過定點？若是求出該定點，若不是，說明理由．

（2）將函數的圖象向下平移個單位，再向左平移個單位后得到函數，設函數的反函數為，求的解析式；

（3）在（2）的基礎上，若函數過點，且設函數的定義域為，若在其定義域內，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）過定點；（2）（且）；（3）.

【解析】

（1）在函數的解析式中，令指數為零，可求出該函數所過定點的坐標；

（2）根據平移原則求出函數的解析式，然后再根據同底數的對數函數與指數函數互為反函數這一性質可得出函數的解析式；

（3）將點代入函數的解析式得出，令，由，得出，利用函數單調性求出函數在上的最大值，即可得出實數的取值范圍.

（1）（且），令，得，.

因此，函數的圖象恒過定點；

（2）將函數的圖象向下平移個單位，得到函數（且）的圖象，再將所得函數的圖象向左平移個單位，可得到函數（且）的圖象.

因此，（且）；

（3）由題意得，得，且，，則，

當時，.

由，得，

即，

令，則不等式對任意的恒成立，

對任意的恒成立，構造函數，其中.

則函數在區間上單調遞增，則該函數的最大值為，

，因此，實數的取值范圍是.