Question

已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，當x≤0時，f（x）=1+

1

x-1

；
（1）求f（2）的值及當x＞0時y=f（x）的解析式；
（2）用定義法判斷y=f（x）在區間（-∞，0]的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據已知條件，設x＞0，那么-x＜0，所以可求f（-x）=1+

1

-x-1

=f(x)．這樣便可求f（2），x＞0時f（x）的解析式；
（2）首先確定x∈（-∞，0]時，f（x）=1+

1

x-1

，根據單調性的定義，設x₁＜x₂≤0，通過作差比較f（x₁），f（x₂）的大小，從而判斷出f（x）在（-∞，0]的單調性．

解答： 解：（1）設x＞0，-x＜0，則：f（-x）=1+

1

-x-1

=f(x)；
∴x＞0時，f(x)=1-

1

x+1

；
f（2）=

2

3

；
（2）x∈（-∞，0]時，f（x）=1+

1

x-1

；
設x₁＜x₂≤0，則：
f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

；
∵x₁＜x₂≤0；
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0；
f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0]上單調遞減．

點評：考查偶函數的定義，已知x＜0時的解析式，根據f（x）的奇偶性求x＞0時解析式的求法，以及函數單調性的定義，根據單調性的定義判斷函數的單調性．