Question

18、設函數f（x）=x³-3ax²+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數在切點處的導數值為切線斜率，切點在切線上，列方程解．
（Ⅱ）導函數大于0對應區間是單調遞增區間；導函數小于0對應區間是單調遞減區間．

解答：解：（Ⅰ）求導得f′（x）=3x²-6ax+3b．
由于f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11解得：a=1，b=-3．
3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x²-6ax+3b=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故當x∈（-∞，-1）時，f（x）是增函數，
當x∈（3，+∞）時，f（x）也是增函數，
但當x∈（-1，3）時，f（x）是減函數．

點評：考查導數的幾何意義及利用導數求函數的單調區間．