設函數f（x）=x3+ax2-a2x+5（a＞0）
（1）當函數f（x）有兩個零點時，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，當x∈[-4，4]時，求函數f（x）的最大值．
分析：（1）由題意得f′（x）=3（x-
）（x+a）（a＞0），所以函數f（x）的增區間為（-∞，-a），（
，+∞），減區間為（-a，
），所以函數f（x）有兩個零點，當且僅當f（-a）=0或f（
）=0，因為a＞0所以a=3．
（2）由題知-a∈[-6，-3]，
∈[1，2]，當4≤a≤6時，因為函數f（x）在[-4，
）上單調遞減，在（
，4]上單調遞增，所以f（-4）-f（4）=8（a
2-16）≥0，所以f（x）
max=f（-4）=4a2+16a-59，同理得當3≤a＜4時，f（x）
max=f（4）=-4a
2+16a+69；
解答：解：（1）由題意得f′（x）=3x
2+2ax-a
2=3（x-
）（x+a）（a＞0），
由f′（x）＞0得x＜-a，或x＞
，由f′（x）＜0得-a＜x＜
，
所以函數f（x）的增區間為（-∞，-a），（
，+∞），減區間為（-a，
），
即當x=-a時，函數取極大值f（-a）=a
3+5，
當x=
時，函數取極小值f（
）=-
a3+5，
又f（-2a）=-2a
3+5＜f（
），f（2a）=10a
3+5＞f（-a），
所以函數f（x）有兩個零點，當且僅當f（-a）=0或f（
）=0，
注意到a＞0，所以f（
）=-
a3+5=0，即a=3．
故a的值是3．
（2）由題知-a∈[-6，-3]，
∈[1，2]，
當-a≤-4即4≤a≤6時，
函數f（x）在[-4，
）上單調遞減，在（
，4]上單調遞增，
注意到f（-4）-f（4）=8（a
2-16）≥0，
所以f（x）
max=f（-4）=4a2+16a-59；
當-a＞-4即3≤a＜4時，
函數f（x）在[-4，-a）上單調增，在（-a，
）上單調減，在（
，4]上單調增，
注意到f（-a）-f（4）=a
3+4a
2-16a-64=（a+4）
2（a-4），
所以f（x）
max=f（4）=-4a
2+16a+69；
綜上，f（x）
max=
| | 4a2+16a-59 ，4≤a≤6 | | -4a2+16a+69，3≤a＜4 |
| |
．
點評：本題考查利用導數解決極值問題通過極值求出參數，利用參數的范圍與定義域的關系討論函數的單調性，進而得到函數的最大值．本題利用了分類討論的思想這是數學上的一個很主要的數學思想．
