Question

設函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x-1．求：
（Ⅰ）函數(shù)在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程即可；
（2）求導函數(shù)，利用導數(shù)大于0，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導數(shù)小于0，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：f′（x）=3x²-6x-9         …（2分）
（1）f′（1）=3×1²-6×1-9=-12
∴切線方程為y+12=-12（x-1）即12x+y=0     …（6分）
（2）令f′（x）=3x²-6x-9＞0⇒x＞3或x＜-1  …（8分）
令f′（x）=3x²-6x-9＜0⇒-1＜x＜3…（10分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，3）…（12分）

點評：本題給出三次多項式函數(shù)，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程并用導函數(shù)討論了函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．著重考查了多項式函數(shù)的導數(shù)公式和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于基礎題．