Question

雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足

F1M

•

F2M

+2a²=0，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  3

  ）
• B、（

  3

  ，+∞）
• C、（1，

  2

  ）
• D、（

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（m，n），得

F1M

•

F2M

=（m-c）（m+c）+n²=-2a²，即m²+n²=c²-2a²…（1）根據(jù)M（m，n）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點(diǎn)，得n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式并整理得：

c2

a2

m²=2c²-3a²…（2）．最后根據(jù)m滿足m²≥a²，代入（2）式解關(guān)于a、c的不等式，得c

3

a，由此即可得出此雙曲線的離心率的取值范圍．

解答： 解：設(shè)M（m，n），得

F1M

•

F2M

=（m-c）（m+c）+n²=-2a²，即m²+n²=c²-2a²…（1）
∵M(jìn)（m，n）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點(diǎn)，
∴n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式得

c2

a2

m²-b²=c²-2a²，整理得：

c2

a2

m²=2c²-3a²，…（2）
∵點(diǎn)M在雙曲線上，橫坐標(biāo)滿足|m|≥a
∴m²≥a²，代入（2）式，得2c²-3a²≥

c2

a2

•a²=c²
化簡，得c≥

3

a，
因此雙曲線的離心率e=

c

a

≥

3

，
故選：B

點(diǎn)評：本題給出雙曲線上點(diǎn)P指向兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的向量的數(shù)量積，求此雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了向量數(shù)量積的公式和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．