Question

已知函數f（x）=x³-ax²+3x+1．
（Ⅰ）當a=5時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若f（x）在區間（2，3）內至少有一個極值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=5時，f（x）=x³-5x²+3x+1，求導f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），從而求切線方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），由導數的正負確定函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）f（x）在區間（2，3）內至少有一個極值點可轉化為f′（x）=3x²-2ax+3=0在（2，3）內有解且f′（x）=3x²-2ax+3在（2，3）上有正有負，從而求實數a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=5時，f（x）=x³-5x²+3x+1，
f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），
f（2）=8-5×4+3×2+1=-5，
f′（2）=12-20+3=-5，
故曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為
y+5=-5（x-2），
即5x+y-5=0；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，
f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），
則函數f（x）的單調增區間為（-∞，

1

3

），（3，+∞）；
單調減區間為[

1

3

，3]；
（Ⅲ）f′（x）=3x²-2ax+3，
①當

a

3

≤2或

a

3

≥3，即a≤6或a≥9時，
f′（x）在[2，3]上單調，
故有f′（2）•f′（3）＜0，
即（12-4a+3）（27-6a+3）＜0，
故

15

4

＜a＜5，
②當2＜

a

3

＜3，即6＜a＜9時，
f′（2）＞0或f′（3）＞0，且f′（

a

3

）＜0；
無解；
故若f（x）在區間（2，3）內至少有一個極值點，
實數a的取值范圍為（

15

4

，5）．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于難題．