Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）設(shè)是的中點，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即

（2）以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，分別計算各個點坐標(biāo)，計算平面法向量，利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：設(shè)是的中點，連接、，

是的中點，，，

，，， ，

是平行四邊形，，

，，，

，，，

由余弦定理得，

，，

，平面，，

；

（2）由（1）得平面，，平面平面，

過點作，垂足為，平面，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，

設(shè)是平面的一個法向量，則，，

令，則，，

，

直線與平面所成角的正弦值為.