Question

【題目】已知為坐標原點,橢圓的左、右焦點分別為上頂點為,右頂點為,以為直徑的圓過點,直線與圓相交得到的弦長為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點， 與軸， 軸分別相交于兩點，滿足：①記的中點為,且兩點到直線的距離相等；②記的面積分別為若當取得最大值時,求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由以為直徑的圓過點，知，從而求出， ，由此能求出橢圓的方程；（Ⅱ）設直線的方程為，則．由方程組，得，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式、弦長公式，結合已知條件能求出的值.

試題解析：（Ⅰ）因為以為直徑的圓過點,所以則圓的方程為

直線的方程為，則 ， ,所以,所以橢圓的方程為

（Ⅱ）由題意，設直線的方程為則

由方程組得

所以

由韋達定理得

因為兩點到直線的距離相等，所以線段的中點與線段的中點重合，

所以解得

于是，

由及可得

所以，當時， 有最大值

此時故