Question

【題目】已知函數 (其中為自然對數的底數).

（1）當時，求函數的單調遞增區間；

（2）若函數在區間上單調遞減，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(－∞，－ ]和[，＋∞)；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，利用導函數的符號，求解函數的單調增區間即可．（2）利用函數的導數，導函數小于0，分離變量，構造函數利用導數求解最值即可得到結果．

試題解析：

(1)當m＝－2時，f(x)＝(x2－2x)ex，

f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，

令f′(x)≥0，即x2－2≥0，解得x≤－或x≥.

所以函數f(x)的單調遞增區間是(－∞，－]和[，＋∞)

(2)依題意，f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，

因為f′(x)≤0對于x∈[1,3]恒成立，

所以x2＋(m＋2)x＋m≤0，即m≤－＝－(x＋1)＋

令g(x)＝－(x＋1)＋，則g′(x)＝－1－<0恒成立，

所以g(x)在區間[1,3]上單調遞減，g(x)min＝g(3)＝－，故m的取值范圍是.