Question

【題目】已知函數的圖象與x軸交點為，與此交點距離最小的最高點坐標為.

（Ⅰ）求函數的表達式；

（Ⅱ）若函數滿足方程，求方程在內的所有實數根之和；

（Ⅲ）把函數的圖像的周期擴大為原來的兩倍，然后向右平移個單位，再把縱坐標伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個單位得到函數的圖像．若對任意的，方程在區間上至多有一個解，求正數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）依題意作出部分函數圖像，由最大值確定A，周期確定，特殊點確定即可求出解析式；（Ⅱ）由周期知在內恰有2個周期，則方程有四個根，結合圖像利用對稱軸即可求出所有根的和；（Ⅲ）根據三角函數的圖像變化，數形結合即可得到結論.

（Ⅰ）從圖知，函數的最大值為1，則，

函數的周期為，而，則

又時，，，，

解得，而，則，

∴函數的表達式為.

（Ⅱ）的周期為，

在內恰有2個周期，

并且方程在內有4個實根設為，

結合圖像知.

故所有實數之和為.

（Ⅲ）先把的圖像的周期擴大為原來的兩倍，得到，然后向右平移個單位得到，縱坐標伸長為原來的2倍再向上平移1個單位得到，

函數的圖象如圖所示，

則當圖象伸長為原來的5倍以上時符合題意，所以.