Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求證：PF₁⊥PF₂．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的a，b，c，由雙曲線的定義和勾股定理的逆定理，即可得證．

解答： 證明：雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的a=3，b=4，c=

9+16

=5，
由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=2a=6，
又|PF₁|•|PF₂|=32，
則（|PF₁|-|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=36，
即有|PF₁|²+|PF₂|²=36+2×32=100，
|F₁F₂|=2c=10，
即有|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
由勾股定理的逆定理可得，PF₁⊥PF₂．

點評：本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查勾股定理的逆定理，考查運算能力，屬于基礎題．