Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，有a₀=1，a_i∈[0，

π

2

]，tana_n=

1+tan2an-1 -1

tanan-1

，求a₁₀₀．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：由數(shù)列遞推式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式得到an=

1

2

an-1，再由已知a₀=1求得a₁，則a₁₀₀可求．

解答： 解：tana_n=

1+tan2an-1 -1

tanan-1

=

sec2an-1 -1

tanan-1

=

1 cosan-1 -1

tanan-1

=

1-cosan-1 cosan-1

sinan-1 cosan-1

=

1-cosan-1

sinan-1

=tan

an-1

2

．
∵a_i∈[0，

π

2

]，∴an=

1

2

an-1．
a₀=1，a1=

1

2

，
則a₁₀₀=(

1

2

)100．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與三角的綜合，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．