Question

【題目】已知圓：．

（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)圓與軸相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)．

（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)及半徑；

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）（ⅰ）圓心為，半徑；（ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）先判斷在圓外， 所以圓過(guò)點(diǎn)的切線有兩條．再由斜率是否存在分別討論．（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)直線PA和PB把其與直線交于，兩點(diǎn)表示出來(lái)，寫(xiě)出圓的方程化簡(jiǎn)即可．（ⅱ）先求出以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)，在設(shè)出PA和PB的直線方程，分別求出與直線的交點(diǎn)，求出圓心，再根據(jù)勾股定理易求解．

（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓外， 所以圓過(guò)點(diǎn)的切線有兩條．

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿(mǎn)足條件．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，即．

由圓心到切線的距離，解得． 此時(shí)切線方程為．

綜上，圓的切線方程為或．

（Ⅱ）因?yàn)閳A與軸相交于，兩點(diǎn)，所以，．

（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，

同理直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為． 所以以為直徑的圓的圓心為，半徑．

（ⅱ）以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值．

設(shè)點(diǎn)，則．

直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

同理直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

所以圓的圓心，半徑為．

方法一：圓被軸截得的弦長(zhǎng)為

．

所以以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值．

方法二：圓的方程為．

令，解得．

所以．

所以圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．

所以以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值．