Question

【題目】已知函數， .

(1)若曲線的一條切線經過點，求這條切線的方程.

(2)若關于的方程有兩個不相等的實數根x1，x2。

①求實數a的取值范圍；

②證明： .

Answer 1

【答案】（1）或.（2）①②見解析

【解析】試題分析：（1）先設切線點斜式方程，再與二次函數聯立方程組，利用判別式為零得斜率（2）①先求函數導數，分類討論導函數零點，單調函數至多一個零點，所以函數不單調，再依次討論對應單調區間上有零點滿足的條件②構造函數， ，利用導數易得函數單調遞增，即得結論

試題解析：解:(1)解法一 設經過點的切線與曲線相切于點，

由得，

所以該切線方程為，

因為該切線經過，

所以，解得，

所以切線方程為或.

解法二 由題意得曲線的切線的斜率一定存在，

設所求的切線方程為，

由 ，得，

因為切線與拋物線相切，

所以，解得，

所以所求的切線方程為或.

（2）①由，得.

設，

則，

由題意得函數恰好有兩個零點.

（i）當，則，

只有一個零點1．

（ii）當時，由得，由得，

即在上為減函數，在上為增函數，

而，

所以在上有唯一零點，且該零點在上.

取且，

則

所以在上有唯一零點，且該零點在上，

所以恰好有兩個零點.

（iii）當時，由得，

若， ，

所以在上至多有一個零點.

若，則，

當時， ，即在上單調遞減．

又，所以在上至多有一個零點.

當時， 在上單調遞增，在上為減函數，

又，

所以h(x)在上無零點.

若，則，

又當時， ，

所以不存在零點．

在上無零點

故當時， ；當時， ．

因此在上單調遞增，在上單調遞減．

又。

所以在無零點，在至多有一個零點．

綜上， 的取值范圍為．

②不妨設，

由①知， ，且， 在單調遞減，

所以等價于，即．

由于，

且，

所以．

設，

則，

當時， ，所以.

而，故當時， ．

從而，故．