Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

π

3

，∠BAC=x，設f（x）=

AB

•

BC

（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=6mf（x）+1（m≠0），x∈（0，

2π

3

），是否存在實數m，使函數g（x）值域為（1，

3

2

]？若存在請求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：（1）△ABC中，AC=1，∠ABC=

π

3

，∠BAC=x，結合正弦定理，可以表示出BC、AB邊的長，根據邊長為正，可求出x的取值范圍，即定義域，同時我們不難給出求f（x）解析式．
（2）由（1）的結論寫出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（邊界含參數），利用集合相等，邊界值也相等，易確定參數的值．

解答： 解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

AC

sin π 3

=

AB

sin( 2π 3 -x)

，
則BC=

sinx

sin π 3

=

2 3

3

sinx，AB=

sin( 2π 3 -x)

sin π 3

=

2 3

3

sin（

2π

3

-x），
∴f（x）=

AB

•

BC

=

4

3

sinxsin（

2π

3

-x）•（-

1

2

）=-

2

3

sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）
=-

3

3

sinxcosx-

1

3

sin²x=-

1

3

（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）-

1

6

=-

1

3

sin（2x-

π

6

）-

1

6

（0＜x＜

2π

3

），
（2）g（x）=6mf（x）+1=-2msin（2x-

π

6

）-m+1（0＜x＜

2π

3

），
存在實數m，使函數g（x）值域為（1，

3

2

]，
∵0＜x＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，即-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，
當m＞0時，g（x）的值域為[1-3m，1）．
又g（x）的值域為（1，

3

2

]，不成立，m無解；
當m＜0時，g（x）的值域為（1，1-3m]，
又g（x）的值域為（1，

3

2

]，則1-3m=

3

2

，解得m=-

1

6

．
∴存在實數m=-

1

6

，使函數f（x）的值域恰為（1，

3

2

]．

點評：本題比較綜合的考查了三角函數的性質，根據已知條件，第一步的要求，我們斷定求出向量的模，即對應線段的長度是本題的切入點，利用正弦定理求出邊長后，易得函數的解析式和定義域，故根據已知條件和未知的結論，分析它們之間的聯系，進而找出解題的方向是解題的關鍵．