Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形， 底面， ，點分別在棱上，且平面.

（1）求證： ；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）先根據線面垂直性質定理得，再由，以及線面垂直判定定理得平面，即得，由平面，有，再由線面垂直判定定理得平面，即得；（2）因為平面，所以為在平面內的射影，延長交于點，則為（即）與平面所成的角，解直角三角形得線面角正弦值.（3）以空間向量求角二面角，先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解平面法向量，由向量數量積得兩法向量夾角余弦值，最后根據二面角與兩法向量關系得結果

試題解析：（1）因為四邊形是正方形，所以，

又因為底面，所以，故平面，

又平面，則，

而平面，有，則平面，

故.

（2）如圖，延長交于點，因為平面，

所以為在平面內的射影，故為（即）與平面所成的角，

又因為， ，則有，

在中， ，

故與平面所成角的正弦值為.

（3）分別以為軸建立空間直角坐標系， ，

所以， ，設平面的法向量，

那么，

，

令，則，由（1）知，平面的法向量，

設所求二面角的大小為，且為銳角，所以，

所以二面角的余弦值為.