Question

當x＞2時，不等式x+

4

x-2

≥a恒成立，則實數a的（　　）

A．最小值是8

B．最小值是6

C．最大值是8

D．最大值是6

Answer 1

分析：根據x＞2，得到x-2＞0，利用基本不等式可得（x-2）+

4

x-2

≥2

(x-2)× 4 x-2

=4，再結合原不等式恒成立，可得到左邊的最小值6大于或等于a，由此可得實數a的取值范圍是a≤6即可得出答案．

解答：解：∵x＞2
∴x-2＞0
∴x+

4

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+2≥2

(x-2)× 4 x-2

+2=6，
當且僅當x-2=

4

x-2

取等號，
而不等式x+

4

x-2

≥a恒成立
∴（x+

4

x-2

）_min≥a
∴a的取值范圍是（-∞，6]
則實數a的最大值是6．
故選D．

點評：本題以分式不等式為例，考查了函數恒成立的知識，屬于中檔題．注意解法中配湊，然后用基本不等式的技巧，這是此類問題的常見處理方法．