Question

【題目】已知雙曲線C： =1（a＞0，b＞0）的離心率為 ，實軸長為2，直線l：x﹣y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若線段AB的中點在圓x2+y2=5上，求m的值；
（3）若線段AB的長度為4 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得 = ，2a=2，又因為c2=a2+b2

解得a=1，c= ，

∴b2=c2﹣a2=2

∴所求雙曲線C的方程為x2﹣ =1

（2）解：設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），

由 得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，判別式△＞0，

∴x0= =m，y0=x0+m=2m，

∵點M（x0，y0）在圓x2+y2=5上，

∴m2+（2m）2=5，

∴m=±1

（3）解：由 = = = = =4

解得m=±2

所以直線l的方程為x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0

【解析】（1）根據雙曲線的離心率和和實軸長即可求出a，b的值，問題得以解決，（2）設A、B兩點的坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），線段AB的中點為M（x0 ， y0），根據點M（x0 ， y0）在圓x2+y2=5上，即可求出m的值，（3）根據弦長公式即可求出m的值．