Question

在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于點H，則

AH

•

AB

=

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，由已知在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=120°我們易得向量

AB

•

AD

及

AB

2的值，，故我們只要能將向量

AH

用向量

AB

與

AD

表示，即可求解．

解答：解：設

AH

=t

AF

=t(

AD

+

1

2

AB

)=t

AD

+

t

2

AB

又由D，H，E三點共線，則可設：

AH

=μ

AD

+(1-μ)

AE

=μ

AD

+(1-μ)(

AB

+

1

2

AD

)
=(

1

2

+

μ

2

)

AD

+(1-μ)

AB

即：

t= 1 2 + μ 2 t 2 =1-μ

解得：t=

4

5

∴

AH

=

4

5

AD

+

2

5

AB

∴

AH

•

AB

=（

4

5

AD

+

2

5

AB

）•

AB

=

4

5

AD

•

AB

+

2

5

AB2

=

4

5

故答案為：

4

5

點評：若

OC

= λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1．則A、B、C三點共線，且C分AB的兩段線段AC與BC的長度之比，AC：BC=μ：λ