Question

已知點(diǎn)P（-1，2），圓C：（x-1）²+（y+2）²=4
（1）求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程，并求此切線的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱且點(diǎn)P到直線l的距離最長(zhǎng)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)過(guò)P（-1，2）的切線為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程，并求此切線的長(zhǎng)度；
（2）確定l經(jīng)過(guò)圓C的圓心C（1，-2），使P到l的距離最長(zhǎng)，則l⊥PC，直線PC的斜率k_PC=-2，可得l斜率，即可得出直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)過(guò)P（-1，2）的切線為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
∴

2k+4|

k2+1

=2，
∴k²+4k+4=k²+1，
∴k=-

3

4

…．（2分）
兩條切線l₁：x=-1；l₂：3x+4y-5=0…．（4分）
切線長(zhǎng)=

(-1-1)2+(2+2)2-22

=4…（6分）
（2）∵圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴l(xiāng)經(jīng)過(guò)圓C的圓心C（1，-2）…（8分）
使P到l的距離最長(zhǎng)，則l⊥PC，直線PC的斜率k_PC=-2，
∴l(xiāng)斜率為

1

2

…..（10分）
∴直線l：y+2=

1

2

（x+1），即l方程：x-2y-3=0…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．