Question

不等式a²+mb²≥λb（a+b）對于任意的a，b∈R，存在λ∈R成立，則實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：由已知可得a²-λba-（λ-m）b²≥0，結合二次不等式的性質可得△=λ²+4（λ-m）=λ²+4λ-4m≤0，又存在λ∈R成立，△≥0可求．

解答： 解：∵a²+mb²≥λb（a+b）對于任意的a，b∈R恒成
∴a²+mb²-λb（a+b）≥0對于任意的a，b∈R恒成
即a²-（λb）a+（m-λ）b²≥0恒成立，
由二次不等式的性質可得，△=λ²+4（λ-m）=λ²+4λ-4m≤0
又∵存在λ∈R使得上述不等式恒成立，
∴△=16+16m≥0，解得m≥-1，
故答案為：[-1，+∞）．

點評：本題主要考查了二次不等式的恒成立問題的求解，解題的關鍵是靈活利用二次函數的性質，本題難在對“存在λ∈R成立“的處理．