Question

選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

Answer 1

分析：由切割線定理，得MA²=MB•MC，再根據M為PA的中點，將MA換成MP，得到比例線段：

MP

MB

=

MC

MP

，所以△PMB∽△CMP，從而∠BPM=∠PCM，最后在△CMP中利用內角和為180°列式，可得∠MPB的大小為20°．

解答：解：∵直線PA切圓O于點A
∴MA²=MB•MC
又∵M為PA的中點，
∴MP²=MA²=MB•MC，可得

MP

MB

=

MC

MP

∵∠PMB=∠CMP
∴△PMB∽△CMP，可得∠BPM=∠PCM
設∠BPM=∠PCM=α，則△CMP中，結合∠CMP=100°，∠BPC=40°，
得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+（40°+α）=180°
解之得，α=20°
∴∠MPB的大小為20°．

點評：本題給出圓的切線和割線，在已知兩個角的度數情況下求未知角的度數，著重考查了三角形的相似、切割線定理和三角形內角和定理等知識，屬于基礎題．