Question

已知橢圓

x2

a2

+y2=1與雙曲線

x2

b2

-3y2=1具有相同的焦點F₁，F₂，點P是兩曲線的公共點，則∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓和雙曲線的焦點相同得到a2-1=b2+

1

3

，再由定義列方程求得P到兩焦點的距離，然后利用余弦定理求解．

解答： 解：如圖，

由題意可得，a2-1=b2+

1

3

，
|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=2b，
則|PF₁|=a+b，
|PF₂|=a-b，
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

(a+b)2+(a-b)2-4a2+4

2a2-2b2

=

1

2

．
∴∠F₁PF₂=

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點評：本題考查了橢圓與雙曲線的簡單幾何性質，涉及圓錐曲線上的點與兩焦點連線構成的三角形問題，常用圓錐曲線的定義及余弦定理求解，是中檔題．