Question

【題目】已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，問是否在軸上存在一點，使得當變動時總有？若存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）利用橢圓定義求軌跡方程：先由動圓與圓外切并與圓內切，得，從而，再由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點，長半軸長為2，短半軸為的橢圓（左頂點除外），其方程為（2）條件就是，利用坐標化簡得：設，則，再聯立直線方程與橢圓方程，消去y，利用韋達定理得，代入化簡得

試題解析：（1）得圓的圓心為，半徑；圓的圓心，半徑.設圓的圓心為，半徑為.因為圓與圓外切并與圓內切，所以

由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點，長半軸長為2，短半軸為的橢圓（左頂點除外），其方程為

（2）假設存在滿足.設

聯立得，由韋達定理有

①，其中恒成立，

由（顯然的斜率存在），故，即②，

由兩點在直線上，故代入②得：

即有

③

將①代入③即有：④，要使得④與的取值無關，當且僅當“”時成立，綜上所述存在，使得當變化時，總有