Question

已知橢圓E：

x2

4

+y2=1，橢圓E的內接平行四邊形的一組對邊分別經過它的兩個焦點（如圖），則這個平行四邊形面積的最大值是______．

Answer 1

根據橢圓E方程，可得焦點坐標分別為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）
設橢圓E的內接平行四邊形為四邊形ABCD，如圖所示
直線AB方程為y=k（x+

3

），直線CD方程為y=k（x-

3

），
則由

x2 4 +y2=1 y=k(x+ 3 )

消去y，得（1+4k²）x-8

3

k²x+4（3k²-1）=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得

x1+x2= 8 3 k2 1+4k2 x1x2= 4(3k2-1) 1+4k2

由此可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 1+k2

1+4k2

∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4(1+k2)

1+4k2

由平行線之間的距離公式，得直線AB、CD的距離為d=

2 3 |k|

1+k2

因此，平行四邊形ABCD的面積S=|AB|×d=8

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

令t=

k2(1+k2)

(1+4k2)2

=

( 1 4 +k2)2

(1+4k2)2

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

再令

1

2

k2-

1

16

=s，顯然當k²＞

1

8

時，s＞0，t=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

＞

1

16

，此時可取到最大值．
∵t=

1

16

+

s

64s2+24s+ 9 4

=

1

16

+

1

24+(64s+ 9 4s )

≤

1

16

+

1

24+2 64s× 9 4s

=

1

12

∴平行四邊形ABCD的面積S=8

3

•

t

≤8

3

×

1 12

=4，
當且僅當k=±

2

2

時，平行四邊形ABCD的面積S取得最大值為4
故答案為：4