Question

【題目】已知函數f（x）=x+ ﹣3lnx（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的一個極值點，求a值及f（x）的單調區間；
（2）當a=﹣2時，求f（x）在區間[1，e]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），

由題有f′（x）=1﹣ ﹣ ，

所以由x=3是函數f（x）的一個極值點得f′（3）=1﹣ ﹣1=0，解得：a=0，

此時f′（x）=1﹣ = ，

所以，當x＞3時，f′（x）＞0；當0＜x＜3時，f′（x）＜0，

即函數f（x）在（3，+∞）單調遞增；在（0，3）單調遞減．

所以函數f（x）的單調遞增區間為（3，+∞），單調遞減區間為（0，3）

（2）解：因為a=﹣2，所以f（x）=x﹣ ﹣3lnx，

f′（x）=1+ ﹣ = ，

所以，當0＜x＜1或x＞2時，f′（x）＞0；當1＜x＜2時，f′（x）＜0，

所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，1）和（2，+∞）；單調遞減區間為（1，2），

又x∈[1，e]，所以f（x）在[1，2]遞減，在[2，e]遞增，

所以f（x）的最小值f（x）min=f（2）=1﹣3ln2，

又f（1）=﹣1，f（e）=e﹣ ﹣3及f（e）﹣f（1）=e﹣ ﹣2＜2.72﹣ ﹣2= ＜0，

所以f（x）的最大值為f（x）max=f（1）=﹣1

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）根據函數的單調性求出f（x）的最小值，計算f（e），f（1）的大小，求出f（x）的最大值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．