Question

已知f（x）是定義在R上的函數，設g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

①試判斷g（x）與h（x）的奇偶性；
②試判斷g（x），h（x）與f（x）的關系；
③由此你能猜想得出什么樣的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：①根據函數奇偶性的定義，我們易判斷出g（-x）與g（x），h（-x）與h（x）的關系，進而判斷出函數g（x）與h（x）的奇偶性；
②由已知中函數g（x）與h（x）的解析式，我們易判斷g（x），h（x）與f（x）的關系；
③根據①②的結論，通過歸納分析即可得到結論．

解答：解：①∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

2

=g（x）
∴函數g（x）為偶函數
又∵h(-x)=

f(-x)-f(x)

2

=-

f(x)-f(-x)

2

=-h（x）
∴函數h（x）為奇函數
②∵g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

∴f（x）=g（x）+h（x）
③由①②得，任何一個定義域為R的函數都可以分解為一個奇函數和一個偶函數相加的形式．

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，熟練掌握函數奇偶性的定義是解答本題的關鍵．