Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

⑴求出，分別討論的范圍，求出單調(diào)性

⑵等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合⑴中的結(jié)果求導(dǎo)后判定函數(shù)的單調(diào)性，研究零點(diǎn)問(wèn)題

(1) ，則

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，若 ，則，若 ，則

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

(2) 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn).

由(1)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意。所以，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所從.

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則有.

設(shè)，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.又

所以存在，當(dāng)時(shí)，.

即存在，當(dāng)時(shí)， 即

又因?yàn)?/span>，所以實(shí)數(shù)的最小值等于2．

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn).故實(shí)數(shù)的最小值等于2.